私が微分積分学での中間試験で覚えといて役に立ったものをメモとして残しときます。
間違いがあるかもしれないので各自の責任で持ってご活用ください。また、もし間違いを見つけた人がいたら私のtwitterなどに連絡をくれるとありがたいです。
$$(x^x)^{\prime} = x^x(\log x +1)\\[22pt]$$
$$ \begin{align*} (\sin^{-1} x)^{\prime} &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[11pt] (\cos^{-1} x)^{\prime} &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[11pt] (\tan^{-1} x)^{\prime} &= \frac{1}{1+x^2} \end{align*} $$
$$\cos(\sin^{-1} x) = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$$
$$\tan(\sin^{-1} x) = \frac{\sin(\sin^{-1} x)}{\cos(\sin^{-1} x)} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\tan(\cos^{-1} x) = \frac{\sin(\cos^{-1} x)}{\cos(\cos^{-1} x)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$
$$\cos(\tan^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
$$\sin(\tan^{-1} x) = \tan(\tan^{-1} x) \cdot \cos(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
$$(\tan x)^{\prime} = \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$\left(\frac{1}{\tan x}\right)^{\prime} = -\frac{1}{\sin^2 x}$$
$$ \begin{align*} \sinh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{2}\\[11pt] \cosh x &= \frac{e^x + e^{-x}}{2}\\[11pt] \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x}\\[22pt] \end{align*} $$
$$ \begin{align*} (\sinh x)^{\prime} &= \cosh x\\[11pt] (\cosh x)^{\prime} &= \sinh x\\[11pt] (\tanh x)^{\prime} &= \frac{1}{\cosh^2 x}\\[22pt] \end{align*} $$
$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$
※座標に注意